ディオファントス問題

数の世界

普通の数、$1, 2, 3, \cdots$を自然数と言います。$0$を自然数に含める流儀もあります。またこれに負の数を加えた$0, \pm 1, \pm 2, \cdots$を整数と言います。整数全体が成す集合を$\mathbb{Z}$などと記します。集合の記号で書くと、 $$ \mathbb{Z} = \{ \cdots, -2,-1,0,1,2,\cdots\}=\{0, \pm 1, \pm 2, \cdots\} $$ となります。また、分子と分母が整数として表せる数を有理数と言い、有理数全体の集合を$\mathbb{Q}$と記します。集合の記号で書くと、 $$ \mathbb{Q} = \left\{\frac{m}{n} \mid m,n \in\mathbb{Z}\right\} $$ となります。また、実数直線上の点と対応する数を実数と呼びます。実数全体の集合を$\mathbb{R}$と記します。 03_24_01

有理数が与えられれば、これは実数直線上の点を与えます。従って、有理数は全て実数とみなすこができます。この事実は、集合の言葉を使うと $$ \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} $$ と表すことができます。ギリシア時代には、全ての数は有理数であると信じられていました。しかしながら実際には、有理数でない数の存在が知られています。

有理数と無理数

$2$の平方根$\sqrt{2}$を考えます。仮にこの数が有理数だったと仮定します。すると、 $$ \sqrt{2} = \frac{m}{n} $$ と、２つの整数 $m,n$ の商として書くことかできることになります。$\sqrt{2} > 0$となる様に取れば、$m, n >0$と取ることができます。いま、$m,n$をともに素因数分解すると、 \begin{align} m &= p_1^{i_1} p_2^{i_2} \cdots p^{i_k}_k, & n &= p_1^{j_1} p_2^{j_2} \cdots p^{j_l}_l \end{align} という形で、それぞれ、いくつかの素数の積として表すことができます。$\sqrt{2}$ $n = m$より$2 n^2 = m^2$が成り立ちますが、この式に上の因数分解を代入すると $$ 2 p_1^{2j_1} p_2^{2j_2} \cdots p^{2j_l}_l = p_1^{2i_1} p_2^{2 i_2} \cdots p^{2 i_k}_k $$ が導かれます。$2$は素数であることから、左辺は$1 + 2 j_1 + 2 j_2 + \cdots + 2 j_l$個の素数の積、右辺は$2 i_1 + 2 i_2 + \cdots + 2 i_k$個の素数の積となります。整数の素因数分解の一意性から、両辺の因数分解の素数の数は一致しなくてはならないことから、 $$ 1 + 2 j_1 + 2 j_2 + \cdots + 2 j_l = 2 i_1 + 2 i_2 + \cdots + 2 i_k $$ が導かれます。しかし、左辺は奇数で右辺は偶数であることから、この様な等号が成り立つはずがありません。従って、矛盾が導かれました。この事実と背理法より、最初の仮定、すなわち「$\sqrt{2}$は有理数である」という仮定は正しくないことが導かれます。